lnx'in integrali

lnx'in integralini bulma

Lnx fonksiyonunun integralini kısmi integral (kısmi integrasyon, parçalı integral) yönteminden faydalanarak aşağıdaki şekildeki gibi bulabiliriz. (bakınız kısmi integral yöntemi)

u ve v türevlenebilir (türevi alınabilir) iki fonksiyon olsun.

$\int u.dv=u.v-\int v.du$ olur.

Şimdi yukarıdaki formülden yararlanarak $\int lnx.dx$ integralinin sonucunu bulalım.

$\int lnx.dx=?$

$u=lnx$ ve$dv=dx$ olsun.

$u=lnx$

$du=d(lnx)$ (eşitliğin her iki tarafının da diferansiyelini alırız)

$du=(lnx{)}^{\prime }dx$

$du=\frac{(x{)}^{\prime }}{x}.dx$

$du=\frac{1}{x}.dx$

$du=\frac{1.dx}{x}$

$du=\frac{dx}{x}$ olur.

$dv=dx$

$\int dv=\int dx$ (eşitliğin her iki tarafının da integralini alırız)

$v=x$ olur.

Bulduğumuz değerleri aşağıdaki formülde yerine koyalım.

$\int u.dv=u.v-\int v.du$

$\int lnx.dx=lnx.x-\int \cancel{x}.\frac{dx}{\cancel{x}}$

$\int lnx.dx=lnx.x-\int dx$

$\int lnx.dx=lnx.x-x+c$

$\int lnx.dx=x.(lnx-1)+c$ olur.

işlemin sağlaması

$(lnx.x-x+c{)}^{\prime }=lnx$

$(lnx.x{)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }+c^{\prime }=lnx$

$(lnx{)}^{\prime }.x+(x{)}^{\prime }.lnx-1+0=lnx$

$\frac{(x{)}^{\prime }}{x}.x+1.lnx-1=lnx$

$\frac{1}{\cancel{x}}.\cancel{x}+lnx-1=lnx$

$\cancel{1}+lnx-\cancel{1}=lnx$

$lnx=lnx$ olur.