Öklid Teoremi (Öklid Bağıntısı)

Öklit Teoremi (Öklit Bağıntısı)

Bir dik üçgende dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse bir dikme inilirse iki yeni dik üçgen oluşur. Oluşan bu iki yeni dik üçgen ile ilk dik üçgen Açı-Açı-Açı (A. A. A.) bakımından benzer üçgenlerdir. İşte bu üçgenlerden yararlanarak elde edilen bağıntılara "Öklit Bağıntısı" denir.

1. Öklid'in Yükseklik Bağıntısı

$h^2=m.n$

İspat

$h^2+n^2=b^2$

$h^2+m^2=c^2$

$b^2+c^2=a^2$

$a=m+n$

$h^2+n^2+h^2+m^2=(m+n{)}^2$

$2.h^2+\cancel{n^2}+\cancel{m^2}=\cancel{m^2}+2.m.n+\cancel{n^2}$

$\cancel{2}.h^2=\cancel{2}.m.n$

$h^2=m.n$

2. Öklid'in Dik Kenar Bağıntıları

1. $c^2=m.a$

İspatı

$c^2=h^2+m^2$

$h^2=m.n$

$c^2=m.n+m^2$

$c^2=m.(n+m)$

$n+m=a$

$c^2=m.a$

2. $b^2=n.a$

İspat

$b^2=h^2+n^2$

$h^2=m.n$

$b^2=m.n+n^2$

$b^2=n.(m+n)$

$m+n=a$

$b^2=n.a$

3. $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

İspat

$A(ABC)=\frac{a.h}{2}$

$A(ABC)=\frac{b.c}{2}$

$\frac{a.h}{\cancel{2}}=\frac{b.c}{\cancel{2}}$

$a.h=b.c$

$(a.h{)}^2=(b.c{)}^2$

$a^2.h^2=b^2.c^2$

$h^2=\frac{b^2.c^2}{a^2}$

$a^2=b^2+c^2$

$h^2=\frac{b^2.c^2}{b^2+c^2}$

$\frac{1}{h^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2.c^2}$

$\frac{1}{h^2}=\frac{\cancel{b^2}}{\cancel{b^2}.c^2}+\frac{\cancel{c^2}}{b^2.\cancel{c^2}}$

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

Üçgenlerdeki Benzerlik Kurallarından Yararlanarak Öklid Bağıntılarının İspatı

Yukarıdaki şekildeki ABC, HBA ve HAC dik üçgenleri Açı-Açı-Açı (A. A. A.) bakımından benzer üçgenlerdir.

$ABC\sim HBA\sim HAC(A.A.A.)$

1. $h^2=m.n$ Eşitliğinin İspatı

$HBA\sim HAC(A.A.A.)$

$\frac{|AH|}{|BH|}=\frac{|CH|}{|AH|}$

$\frac{h}{m}=\frac{n}{h}$

$h.h=m.n$

$h^2=m.n$

2. $c^2=m.a$ Eşitliğinin İspatı

$HBA\sim ABC(A.A.A.)$

$\frac{|BH|}{|AB|}=\frac{|AB|}{|BC|}$

$\frac{m}{c}=\frac{c}{a}$

$c.c=m.a$

$c^2=m.a$

3. $b^2=n.a$ Eşitliğinin İspatı

$HAC\sim ABC(A.A.A.)$

$\frac{|CH|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|BC|}$

$\frac{n}{b}=\frac{b}{a}$

$b.b=n.a$

$b^2=n.a$