Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

Yukarıdaki dik üçgene göre;

1. sin y = x ⇒ y = arcsin x

2. cos y = √1 - x² ⇒ y = arccos √1 - x²

3. tan y = x / √1 - x² ⇒ y = arctan x / √1 - x²

4. cot y = √1 - x² / x ⇒ y = arccot √1 - x² / x

5. sec y = x / √1 - x² ⇒ y = arcsec x / √1 - x²

6. csc y = 1 / x ⇒ y = arccsc 1 / x

1. Arcsinx Türevi

a. y = f(x) = arcsin x ⇒ y' = f(x)' = 1 / √1 - x²

b. y = f(x) = arcsin u ⇒ y' = f(x)' = u' / √1 - u²

Arcsinx Türevi İspatı

y = arcsinx

siny = x

d(siny) = dx

(siny)'dy = dx

cosydy = dx

dy / dx = 1 / cosy

y' = 1 / cosy

cosy = √1 - sin²y = √1 - x²

y' = 1 / √1 - x²

2. Arccosx Türevi

a. y = f(x) = arccos x ⇒ y' = f(x)' = - 1 / √1 - x²

b. y = f(x) = arccos u ⇒ y' = f(x)' = - u' / √1 - u²

Arccosx Türevi İspatı

y = arccosx

cosy = x

d(cosy) = dx

(cosy)'dy = dx

- sinydy = dx

dy / dx = - 1 / siny

y' = - 1 / siny

siny = √1 - cos²y = √1 - x²

y' = - 1 / √1 - x²

3. Arctanx Türevi

a. y = f(x) = arctan x ⇒ y' = f(x)' = 1 / 1 + x²

b. y = f(x) = arctan u ⇒ y' = f(x)' = u' / 1 + u²

Arctanx Türevi İspatı

y = arctanx

tany = x

d(tany) = dx

(tany)'dy = dx

(1 + tan²y)dy = dx

dy / dx = 1 / 1 + tan²y

y' = 1 / 1 + tan²y

y' = 1 / 1 + x²

4. Arccotx Türevi

a. y = f(x) = arccot x ⇒ y' = f(x)' = - 1 / 1 + x²

b. y = f(x) = arccot u ⇒ y' = f(x)' = - u' / 1 + u²

Arccotx Türevi İspatı

y = arccotx

coty = x

d(coty) = dx

(coty)'dy = dx

- (1 + cot²y)dy = dx

dy / dx = - 1 / 1 + cot²y

y' = - 1 / 1 + cot²y

y' = - 1 / 1 + x²