Ters Fonksiyonun Türevi

f: A → B'ye tanımlı bire bir ve örten bir fonksiyon olmak üzere; f⁻¹: B → A'ya tanımlı fonksiyonuna f fonksiyonun ters fonksiyonu denir.

y = f(x) ⇒ x = f­⁻¹(y) olur. Eşitlikteki f­⁻¹(y)'ye f(x) fonksiyonun ters fonksiyonu denir ve f⁻¹(x) şeklinde de gösterilebilir.

Ters Fonksiyon Türevi Formülü

(f­⁻¹)'(y) = (f­⁻¹)'(f(x)) = 1/f(x)' (f(x)' ≠ 0)

Ters Fonksiyon Türevi İspatı

f(x) = y

f­⁻¹(y) = x

y = f(u) ⇒ y' = u'.f(u)'

f­⁻¹(y)' = x' (eşitliğin her iki tarafının da türevini alırız)

y'.f­⁻¹(y)' = 1

f­⁻¹(y)' = 1/y'

f­⁻¹(y)' = 1/f(x)' olur.

Örnek 1

y = f(x) = 2x + 3 ise (f­⁻¹)'(x) = ?

1. Yol

y = f(x) = 2x + 3 fonksiyonunun tersini bulabilmek için x yerine y ve y yerine de x koyar ve y'yi yalnız bırakırız. ( bakınız ters fonksiyon )

2x + 3 = y

2y + 3 = x

2y = x - 3

y = (x - 3)/2

f⁻¹(x) = (x - 3)/2 = 1/2.(x - 3)

(f⁻¹)'(x) = 1/2.(x - 3)'

(f⁻¹)'(x) = 1/2.1

(f⁻¹)'(x) = 1/2 olur.

2. Yol

(f⁻¹)'(y) = 1/f(x)'

f(x) = 2x + 3

f(x)' = (2x + 3)'

f(x)' = 2

(f⁻¹)'(y) = 1/2

(f⁻¹)'(x) = 1/2 olur.

Örnek 2

y = f(x) = x² ise (f­⁻¹)'(x) = ?

1. Yol

x² = y

y² = x

√y² = √x

y = √x

f⁻¹(x) = √x

(f⁻¹)'(x) = (√x)'

(f⁻¹)'(x) = 1/2√x olur. ( bakınız karekök türevi )

2. Yol

(f⁻¹)'(y) = 1/f(x)'

f(x) = x²

f(x)' = (x²)'

f(x)' = 2x

(f⁻¹)'(y) = 1/2x

x² = y

√x² = √y

x = √y

(f⁻¹)'(y) = 1/2√y

(f⁻¹)'(x) = 1/2√x olur.