Sonsuz Bölü Sonsuz (Sonsuz Bölü Sonsuz Belirsizliği)

Sonsuz Nedir?

Matematikte sonsuz, "∞" şeklinde gösterilen ve sonu olmayan, devam edip giden anlamına gelen bir ifadedir. Yani sonsuz (∞) bir sayı değildir. Sonsuza ulaşılamaz, varılamaz.

Sonsuz İfadelerle İlgili Bazı İşlemler

1. Sonsuz ile sonsuzun toplamı yine sonsuzdur.

∞ + ∞ = ∞

2. Sonsuz ile sonsuzun farkı belirsizdir.

∞ - ∞ = Belirsiz

3. Sonsuz ile sonsuzun çarpımı yine sonsuzdur.

∞ . ∞ = ∞

4. Sonsuzun sonsuza bölümü belirsizdir.

∞ / ∞ = Belirsiz

5. Sonsuz ile bir sayının toplamının sonucu yine sonsuzdur.

∞ + a = ∞ (a ∈ R)

6. Sonsuzdan bir sayının çıkarılmasının sonucu yine sonsuzdur.

∞ - a = ∞ (a ∈ R)

7. Sonsuzun pozitif (sıfırdan büyük) bir sayıya bölümü yine sonsuzdur.

∞ / a = ∞ (a ∈ R ve a > 0)

8. Sonsuzun negatif (sıfırdan küçük) bir sayıya bölümü eksi sonsuzdur.

∞ / - a = - ∞ (a ∈ R ve - a < 0)

9. Bir sayının sonsuza bölümü sıfırdır.

a / ∞ = 0 (a ∈ R)

∞ / ∞ Neden Bire Eşit Değildir?

Sonsuzun sonsuza bölümü (sonsuz bölü sonsuz) ilk bakışta sanki bire eşit gibi görünüyorsa da bu doğru değildir. Bunun neden doğru olamayacağını aşağıdaki şekildeki gibi ispatlayabiliriz.

∞ / ∞'un Sonucunun bire eşit olacağını kabul edelim (∞ / ∞ = 1)

∞ + ∞ = ∞

∞ + ∞ + ∞ = ∞

∞ / ∞ = (∞ + ∞) / (∞ + ∞) = (∞ + ∞ + ∞) / (∞ + ∞ +∞) Olur.

Cebir'de (x + y + z) / t = x / t + y / t + z / t olduğunu hepimiz biliriz.

∞ / ∞ = (∞ + ∞) / (∞ + ∞)

∞ / ∞ = ∞ / (∞ + ∞) + ∞ / (∞ + ∞)

∞ / ∞ = ∞ / ∞ + ∞ / ∞

∞ / ∞ = 1 Olarak kabul etmiştik.

1 = 1 + 1

1 = 2

1, 2'ye eşit olamayacağına göre buradan sonsuz bölü sonsuzun bire eşit olamayacağını rahatlıkla görebiliriz.

∞ / ∞ Belirsizliğinden Nasıl Kurtulabiliriz?

Bunu bir örnekle açıklamaya çalışalım.

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = ?

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 . ∞² + ∞ - 2) / (∞² + 3 . ∞ + 1)

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 . ∞ + ∞ - 2) / (∞ + ∞ + 1)

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (∞ + ∞ - 2) / (∞ + 1)

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (∞ - 2) / ∞

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = ∞ / ∞

x → ∞

Sonucun bu şekil de çıkmasının nedeni paydaki ifadenin gittiği sonsuz ile paydadaki ifadenin gittiği sonsuzun birbirine eşit olmamasıdır. sonsuza kadar gidiyor ama hangi sonsuza kadar?

Yukarıdaki ifade de x değeri sonsuza doğru giderken (yaklaşırken) acaba; (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) ifadesi bir değere doğru yaklaşır mı? olaya bir de bu açıdan bakalım.

x (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1)

1 0,20

2 0,72

3 1,00

4 1,17

5 1,29

10 1,58

50 1,90

100 1,95

500 1,99

Yukarıya bakıldığında da görüleceği üzere x değeri sonsuza doğru yaklaşırken (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) değeri de 2'ye doğru yaklaşır. Özellikle "yaklaşır" tabirini kullanıyoruz. Çünkü x değeri sonsuza hiç bir zaman varamaz, ulaşamaz, gidemez adı üstünde sonsuz sonu olmayan, varılamayan, ulaşılamayan demektir. x değeri sonsuza hiç bir zaman ulaşamayacağı için (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) değeri de 2'ye hiç bir zaman ulaşamaz, varamaz ancak yaklaşabilir.

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) Limitinin sonucunu aşağıdaki şekildeki gibi de bulabiliriz.

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = x² (2 + 1 / x - 2 / x²) / x² (1 + 3 / x + 1 / x²)

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 + 1 / x - 2 / x²) / (1 + 3 / x + 1 / x²)

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 + 1 / ∞ - 2 / ∞²) / (1 + 3 / ∞ + 1 / ∞²)

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 + 1 / ∞ - 2 / ∞) / (1 + 3 / ∞ + 1 / ∞)

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 + 0 - 0) / (1 + 0 + 0)

x → ∞

Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = 2 / 1 = 2

x → ∞

1 / ∞'un 0'a eşit olmasının nedeni;

1. 1 sınırlı bir sayı iken ∞ sınırsız bir sayıdır. sınırlı bir şeyin içinde sınırsız bir şey bulunamaz bu nedenle 1'in içinde 0 tane ∞ vardır daha doğrusu hiç sonsuz yoktur.

2. Lim 1 / x Limitinde x sonsuza doğru yaklaşırken 1 / x sıfıra doğru yaklaşır.

x → ∞