Sin2x'in Açılımı

Sin2x'in Açılımı Nedir ?

Sin 2x'in açılımı, 2.sin x.cos x'tir.

Sin2x'in Açılımının İspatı

1. Yol

Yukarıdaki $ABC$ ikizkenar üçgeninde; $AB=AC=1,BD=DC=\sin x$'dir. Bu durumda; $AD=cosx,BE=\sin 2x$ olur.

ABC üçgeninin alanı;

1. $A(ABC)=\frac{AC.BE}{2}$

2. $A(ABC)=\frac{BC.AD}{2}$

$\frac{AC.BE}{\cancel{2}}=\frac{BC.AD}{\cancel{2}}$

$AC.BE=BC.AD$

$1.\sin 2x=2\sin x.\cos x$

$\sin 2x=2.\sin x.\cos x$

2. Yol

Yukarıdaki $ABC$ dik üçgeninde; $AC=1,AB=\sin x,BC=\cos x$'dir.

ABC üçgeni için;

$(AB{)}^2+(BC{)}^2=(AC{)}^2$

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1^2$

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

ABD üçgeni için;

$(AB{)}^2+(BD{)}^2=(AD{)}^2$

${\sin }^{2}x+(\cos x-a{)}^2=a^2$

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2.\cos x.a+a^2=a^2$

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2.\cos x.a+\cancel{a^2}-\cancel{a^2}=0$

$1-2.\cos x.a=0$

$-2.\cos x.a=-1$

$\frac{\cancel{-2.\cos x}.a}{\cancel{-2.\cos x}}=\frac{\cancel{-}1}{\cancel{-}2.\cos x}$

$a=\frac{1}{2.\cos x}$

ABD üçgeni için;

$\sin 2x=\frac{AB}{AD}=\frac{\sin x}{a}$

$\sin 2x=\frac{\sin x}{\frac{1}{2.\cos x}}$

$\sin 2x=\sin x.2.\cos x$

$\sin 2x=2.\sin x.\cos x$

3. Yol

Trigonometrik değeri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerini bulabilmek için kullanılan formüllere toplam-fark formülleri denir. Sinüs için aşağıdaki toplam formülünü kullanarak sin 2x'in açılımının değerini bulabiliriz.

$\boxed{\sin (a+b)=\sin a.\cos b+\sin b.\cos a}$

$\sin 2x=\sin (x+x)$

$\sin 2x=\sin x.\cos x+\sin x.\cos x$

$\sin 2x=2.\sin x.\cos x$

$Soru:$

$\sin x-\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin 2x=?$

$Cevap:$

$\sin x-\cos x=\frac{1}{2}$

$(\sin x-\cos x{)}^2=(\frac{1}{2}{)}^2$

${\sin }^{2}x-2.\sin x.\cos x+{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$

$\underset{\text{1}}{\underbrace{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}}-\underset{\text{sin 2x}}{\underbrace{2.\sin x.\cos x}}=\frac{1}{4}$

$1-\sin 2x=\frac{1}{4}$

$-\sin 2x=\frac{1}{4}-1$

$\cancel{-}\sin 2x=\cancel{-}\frac{3}{4}$

$\sin 2x=\frac{3}{4}$

$Soru:$

$\cos 20°=x\Rightarrow \frac{\sin 80°}{\cos 40°.\sin 20°}=?$

$Cevap:$

$\frac{\sin 80°}{\cos 40°.\sin 20°}=\frac{2.\sin 40°.\cancel{\cos 40°}}{\cancel{\cos 40°}.\sin 20°}$

$\frac{\sin 80°}{\cos 40°.\sin 20°}=\frac{\mathrm{2.2.}\cancel{\sin 20°}.\cos 20°}{\cancel{\sin 20°}}$

$\frac{\sin 80°}{\cos 40°.\sin 20°}=4.\cos 20°$

$\frac{\sin 80°}{\cos 40°.\sin 20°}=4.x$