Sin15

sin15 kaça eşittir ?

$Sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$'e eşittir. $Sin15°$'in değerini aşağı da birkaçını göstereceğimiz birçok yoldan bulabiliriz.

1. toplam-fark formülleri yardımıyla sin15°'nin değerini bulma

Sinüs için toplam-fark formülleri aşağıdaki gibidir.

$sin(a+b)=sina.cosb+sinb.cosa$

$sin(a-b)=sina.cosb-sinb.cosa$

15° = 45° - 30° veya 15° = 60° - 45°'dir. Sin30°, cos30°, sin45°, cos45°, sin60° ve cos60°'nin trigonometrik değerini bildiğimiz için buradan sin15°'nin trigonometrik değerini kolaylıkla hesaplayabiliriz. (bakınız önemli açıların trigonometrik değerleri)

a. 30° ve 45° değerlerini kullanarak bulma

$sin15°=sin(45°-30°)$

$sin15°=sin45°.cos30°-sin30°.cos45°$

$sin15°=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin15°=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2.2}-\frac{1.\sqrt{2}}{2.2}$

$sin15°=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

b. 45° ve 60° değerlerini kullanarak bulma

$sin15°=sin(60°-45°)$

$sin15°=sin60°.cos45°-sin45°.cos60°$

$sin15°=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}$

$sin15°=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{2}}{2.2}-\frac{\sqrt{2}.1}{2.2}$

$sin15°=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$'ün rasyonel sayı olarak yaklaşık değerini bulma

$\sqrt{2}\approx 1,4142$

$\sqrt{6}\approx 2,4494$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx \frac{2,4494-1,4142}{4}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx \frac{1,0352}{4}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx 0,2588$

2. sinx'in sonsuz seri açılımından faydalanarak sin15°'nin yaklaşık değerini bulma

Sinx'in sonsuz seri şeklindeki açılımı aşağıdaki gibidir.

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+...$

Yukarıdaki formül de doğru sonuca ulaşabilmek için x'in değerini radyan olarak yazmamız gerekmektedir. 15°'nin radyan olarak karşılığını aşağıdaki şekildeki gibi bulabiliriz.

$\frac{D}{180°}=\frac{R}{\pi }$

$\frac{15°}{180°}=\frac{R}{\pi }$

$180°.R=15°.\pi$

$R=\frac{15°.\pi }{180°}$

$R=\frac{\pi }{12}$

$15°$'nin radyan olarak karşılığı $\frac{\pi }{12}$'dir. $\pi \approx 3,141592$ olarak alınırsa;

$\frac{\pi }{12}\approx \frac{3,141592}{12}\approx 0,261799$ olur. Şimdi yukarıdaki formül de $x$ gördüğümüz yere $0,261799$ yazalım. Formüldeki ilk iki terimi almamız yeterlidir.

$sinx\approx x-\frac{x^3}{3!}$

$sinx\approx 0,261799-\frac{0,261799^3}{3!}$

$sinx\approx 0,261799-\frac{0,261799^3}{6}$

$sinx\approx 0,261799-\frac{0.017943}{6}$

$sinx\approx 0,261799-0.002990$

$sinx\approx 0,258809$

3. birim çember yardımıyla sin15°'nin yaklaşık değerini bulma