Menelaus Teoremi

Menelaus Teoremi Nedir ?

Menelaus Teoremi, M. Ö. 140-70 tarihleri arasında yaşamış olan İskenderiyeli Yunan matematikçi ve astronom Menelaus'a atfedilen, üçgenler üzerine kurulu bir teoremdir.

A, B ve C köşelerinden oluşan yukarıdaki ABC üçgeninde, sırasıyla AB, BC ve CA doğruları üzerinde bulunan ve üçgenin köşeleri ile kesişmeyen D, E ve F noktalarının aynı doğru üzerinde bulunabilmesi ancak ve ancak;

$\frac{FC}{FB}.\frac{BD}{DA}.\frac{AE}{EC}=1$

$FC.BD.AE=FB.DA.EC$

eşitliklerinin sağlanabilmesi ile mümkündür.

Menelaus Teoremi'nin İspatı

Yukarıdaki şekilde, [AB] // [GC]'dir.

Bu durumda, ADE ile CGE ve BDF ile CGF üçgeni Açı - Açı - Açı bakımından benzer üçgenlerdir.

ADE ~ CGE (A. A. A.)

BDF ~ CGF (A. A. A.)

$ADE\text{~}CGE$ olmak üzere;

$\frac{EC}{CG}=\frac{AE}{DA}$

$CG.AE=DA.EC$

$CG=\frac{DA.EC}{AE}$

$BDF\text{~}CGF$ olmak üzere;

$\frac{FB}{FC}=\frac{BD}{CG}$

$CG.FB=FC.BD$

$CG=\frac{FC.BD}{FB}$

$\frac{FC.BD}{FB}=\frac{DA.EC}{AE}$

$FC.BD.AE=FB.DA.EC$

$\frac{FC.BD.AE}{FB.DA.EC}=\frac{\cancel{FB.DA.EC}}{\cancel{FB.DA.EC}}$

$\frac{FC.BD.AE}{FB.DA.EC}=1$

$\frac{FC}{FB}.\frac{BD}{DA}.\frac{AE}{EC}=1$