İki Nokta Arası Uzaklık

İki Nokta Arası Uzaklık Formülü

Düzlemde iki nokta arasındaki en kısa uzaklık bir doğru parçasıdır. İki nokta arasındaki uzaklık denince bunu anlamamız gerekir. x ve y eksenlerinden oluşan yukarıdaki dik koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklık aşağıdaki formül yardımıyla bulunur.

Yukarıdaki şekil bir dik üçgene benzer. Bu dik üçgene Pisagor Teoremini uygularsak;

$|AB{|}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$

$\sqrt{|AB{|}^2}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Soru 1

Koordinat düzlemi üzerinde bulunan A(-5, 2) ve B(3, 8) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir ?

$x_1=-5$

$y_1=2$

$x_2=3$

$y_2=8$

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

$|AB|=\sqrt{(3-(-5){)}^2+(8-2{)}^2}$

$|AB|=\sqrt{(3+5{)}^2+(8-2{)}^2}$

$|AB|=\sqrt{8^2+6^2}$

$|AB|=\sqrt{64+36}$

$|AB|=\sqrt{100}$

$|AB|=\sqrt{10^2}$

$|AB|=10$

Örnek 2

Koordinat düzlemi üzerinde bulunan A(-2, 4) ve B(3, a) noktaları arasındaki mesafe 13 birim olduğuna göre a'nın alacağı değerlerin çarpımı kaçtır ?

$x_1=-2$

$y_1=4$

$x_2=3$

$y_2=a$

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

$13=\sqrt{(3-(-2){)}^2+(a-4{)}^2}$

$13=\sqrt{(3+2{)}^2+(a-4{)}^2}$

$13=\sqrt{5^2+(a-4{)}^2}$

$13=\sqrt{25+(a-4{)}^2}$

$13^2=(\sqrt{25+(a-4{)}^2}{)}^2$

$13^2=\sqrt{(25+(a-4{)}^2{)}^2}$

$13^2=25+(a-4{)}^2$

$169=25+(a-4{)}^2$

$169-25=(a-4{)}^2$

$144=(a-4{)}^2$

$12^2=(a-4{)}^2$

$0=(a-4{)}^2-12^2$

$0=(a-4-12).(a-4+12)$

$0=(a-16).(a+8)$

$a-16=0,a=16$

$a+8=0,a=-8$

$16.-8=-128$