eax'in integralinin neden aeax'ya eşit olduğunu aşağıda bazılarını göstereceğimiz bir kaç yoldan ispatlayabiliriz.
1. Yol
∫eaxdx=?
ax=u olsun.
d(ax)=du (eşitliğin her iki tarafının da diferansiyelini alırız)
(ax)′dx=du
adx=du
dx=adu
∫eaxdx=∫eu.adu
∫eaxdx=∫aeudu
∫eaxdx=a1.∫eudu
∫exdx=ex+c⇒∫eudu=eu+c olur.
∫eaxdx=aeu+c
2. Yol
∫eaxdx=?
eax=u olsun.
d(eax)=du (eşitliğin her iki tarafının da diferansiyelini alırız)
(eax)′dx=du
f(x)=eax⇒f′(x)=a.eax
a.eaxdx=du
eaxdx=adu
∫eaxdx=∫adu
∫eaxdx=a1.∫du
∫dx=x+c⇒∫du=u+c olur.
∫eaxdx=au+c
∫eaxdx=aeax+c
3. Yol
∫eaxdx=?
eax=u olsun.
lneax=lnu
ax.lne=lnu
ax.1=lnu
ax=lnu
d(ax)=d(lnu) (eşitliğin her iki tarafının da diferansiyelini alırız)
(ax)′dx=(lnu)′du
f(x)=lng(x)⇒f′(x)=g(x)g′(x)
a.dx=uu′.du
a.dx=u1.du
a.dx=u1.du
a.dx=udu
dx=a.udu
∫eaxdx=∫u.a.udu
∫eaxdx=∫adu
∫eaxdx=a1.∫du
∫dx=x+c⇒∫du=u+c olur.
∫eaxdx=au+c
∫eaxdx=aeax+c
4. Yol
eax fonksiyonunun sonsuz seri şeklindeki açılımından faydalanarak da eax'in integralinin aeax'ya eşit olduğunu ispatlayabiliriz. eax fonksiyonunun sonsuz seri şeklindeki açılımı aşağıdaki gibidir.
eax=1+a.x+2!(a.x)2+3!(a.x)3+4!(a.x)4+...
∫eaxdx=∫(1+a.x+2!(a.x)2+3!(a.x)3+4!(a.x)4+...)dx (eşitliğin her iki tarafının da integralini alırız)