Derivada de Arccsc x

¿ Cuál es la Derivada de Arccsc x ?

La derivada de arccsc x es -1/(|x|.√x²-1).

$(arccscx{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|.\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}(arccscx)=-\frac{1}{|x|.\sqrt{x^2-1}}$

Prueba de la Derivada de Arccsc x

Método 1

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$(arccscx{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{arccsc(x+h)-arccscx}{h}$

$arccsc(x+h)=U$, $cscU=x+h$

$arccscx=V$, $cscV=x$

$cscU-cscV=\cancel{x}+h-\cancel{x}$

$cscU-cscV=h$

$h\to 0$, $cscU-cscV\to 0$, $cscU\to cscV$, $U\to V$

$(arccscx{)}^{\prime }=\underset{U\to V}{\lim }\frac{U-V}{cscU-cscV}$

$\boxed{csca-cscb=\frac{sinb-sina}{sina.sinb}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=\underset{U\to V}{\lim }\frac{U-V}{\frac{sinV-sinU}{sinU.sinV}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=\underset{U\to V}{\lim }\frac{(U-V).sinU.sinV}{sinV-sinU}$

$\boxed{sinp-sinq=2.cos\frac{p+q}{2}.sin\frac{p-q}{2}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=\underset{U\to V}{\lim }\frac{(U-V).sinU.sinV}{2.cos\frac{V+U}{2}.sin\frac{V-U}{2}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=\underset{U\to V}{\lim }\frac{-(V-U).sinU.sinV}{2.cos\frac{V+U}{2}.sin\frac{V-U}{2}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\underset{U\to V}{\lim }\frac{(V-U).sinU.sinV}{2.cos\frac{V+U}{2}.sin\frac{V-U}{2}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\underset{U\to V}{\lim }\frac{\frac{1}{2}.(V-U).sinU.sinV}{cos\frac{V+U}{2}.sin\frac{V-U}{2}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\underset{U\to V}{\lim }\frac{\frac{V-U}{2}.sinU.sinV}{cos\frac{V+U}{2}.sin\frac{V-U}{2}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\underset{U\to V}{\lim }(\frac{\frac{V-U}{2}}{sin\frac{V-U}{2}}.\frac{sinU.sinV}{cos\frac{V+U}{2}})$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\underset{U\to V}{\lim }\frac{\frac{V-U}{2}}{sin\frac{V-U}{2}}.\underset{U\to V}{\lim }\frac{sinU.sinV}{cos\frac{V+U}{2}}$

$U\to V$, $V\to U$, $\frac{V-U}{2}\to 0$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\underset{\frac{V-U}{2}\to 0}{\lim }\frac{\frac{V-U}{2}}{sin\frac{V-U}{2}}.\underset{U\to V}{\lim }\frac{sinU.sinV}{cos\frac{V+U}{2}}$

$\boxed{\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{sint}=1}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-1.\frac{sinV.sinV}{cos\frac{V+V}{2}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\frac{sinV.sinV}{cos\frac{V+V}{2}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\frac{si{n}^{2}V}{cos\frac{\cancel{2}V}{\cancel{2}}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\frac{si{n}^{2}V}{cosV}$

$cscV=x$

$sinV=\frac{1}{x}$

$cosV=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\frac{(\frac{1}{x}{)}^2}{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cancel{x^2}x}.\frac{\cancel{x}1}{\sqrt{x^2-1}}$

$(arccscx{)}^{\prime }=-\frac{1}{x.\sqrt{x^2-1}}$

Como la pendiente de la tangente en cualquier punto de la función arcccsc x siempre será menor que 0, naturalmente el valor de su derivada en cualquier punto también será menor que 0. Para esto, necesitamos mostrar la x en el denominador en la fórmula anterior en valor absoluto.

$(arccscx{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|.\sqrt{x^2-1}}$

Método 1

$y=arccscx$

$cscy=x$

$(cscy{)}^{\prime }=(x{)}^{\prime }$

$\boxed{(cscu{)}^{\prime }=-u^{\prime }.cscu.cotu}$

$-y^{\prime }.cscy.coty=1$

$y^{\prime }=-\frac{1}{cscy.coty}$

$cscy=x$

$coty=\sqrt{x^2-1}$

$y^{\prime }=-\frac{1}{x.\sqrt{x^2-1}}$

$y^{\prime }=-\frac{1}{|x|.\sqrt{x^2-1}}$