Cos 2x Açılımı

Cos 2x'in Açılımı Nedir ?

Cos 2x'in açılımı cos² x - sin² x'tir.

İspatı

1. Yol

$\text{cos 2x}=\text{cos (x + x)}$

$\boxed{\text{cos (a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b}}$

$\text{cos 2x = cos x.cos x - sin x.sin x}$

$\text{cos 2x = cos² x - sin² x}$

2. Yol

Yukarıdaki şekilde;

$\text{AB = AC = 1}$

$\frac{\text{BD}}{\text{BA}}=\text{sin x}$

$\frac{\text{BD}}{\text{1}}=\text{sin x}$

$\text{BD = sin x}$

$\frac{\text{CD}}{\text{CA}}=\text{sin x}$

$\frac{\text{CD}}{\text{1}}=\text{sin x}$

$\text{CD = sin x}$

$\frac{\text{DA}}{\text{BA}}=\text{cos x}$

$\frac{\text{DA}}{\text{1}}=\text{cos x}$

$\text{DA = cos x}$

$\frac{\text{BE}}{\text{BA}}=\text{sin 2x}$

$\frac{\text{BE}}{\text{1}}=\text{sin 2x}$

$\text{BE = sin 2x}$

$\frac{\text{EA}}{\text{BA}}=\text{cos 2x}$

$\frac{\text{EA}}{\text{1}}=\text{cos 2x}$

$\text{EA = cos 2x}$

$\text{EC = AC - AE}$

$\text{EC = 1 - cos 2x}$

EBC üçgeni için Pisagor Bağıntısı'nı yazarsak;

$\text{(EB)² + (EC)² = (BC)²}$

$\text{(sin 2x)² + (1 - cos 2x)² = (2sin x)²}$

$\text{sin² 2x + 1² - 2.1.cos 2x + cos² 2x = 4sin² x}$

$\text{sin² 2x + 1 - 2cos 2x + cos² 2x = 4sin² x}$

$\text{sin² 2x + cos² 2x + 1 - 2cos 2x = 4sin² x}$

$\boxed{\text{sin² a + cos² a = 1}}$

$\text{1 + 1 - 2cos 2x = 4sin² x}$

$\text{2 - 2cos 2x = 4sin² x}$

$\text{2(1 - cos 2x) = 4sin² x}$

$\text{1 - cos 2x = 2sin² x}$

$\text{1 - 2sin² x = cos 2x}$

$\text{sin² x + cos² x - 2sin² x = cos 2x}$

$\text{cos² x + sin² x - 2sin² x = cos 2x}$

$\text{cos² x - sin² x = cos 2x}$

3. Yol

Yukarıdaki şekilde;

$\text{AC = 1}$

$\text{AD = DC = a}$

$\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\text{sin x}$

$\frac{\text{AB}}{\text{1}}=\text{sin x}$

$\text{AB = sin x}$

$\frac{\text{BC}}{\text{AC}}=\text{cos x}$

$\frac{\text{BC}}{\text{1}}=\text{cos x}$

$\text{BC = cos x}$

$\text{BD = BC - DC}$

$\text{BD = cos x - a}$

ABD üçgeni için Pisagor Bağıntısı'nı yazarsak;

$\text{(AB)² + (BD)² = (AD)²}$

$\text{sin² x + (cos x - a)² = a²}$

$\text{sin² x + cos² x - 2.cos x.a + a² = a²}$

$\boxed{\text{sin² a + cos² a = 1}}$

$\text{1 - 2.cos x.a + a² = a²}$

$\text{1 - 2.cos x.a = a² - a²}$

$\text{1 - 2.cos x.a = 0}$

$\text{-2.cos x.a = -1}$

$\text{a}=\frac{\text{-1}}{\text{-2cos x}}$

$\text{a}=\frac{\text{1}}{\text{2cos x}}$

ABD üçgeni için kosinüs oranını yazarsak;

$\frac{\text{cos x - a}}{\text{a}}=\text{cos 2x}$

$\frac{\text{cos x}-\frac{1}{\text{2cos x}}}{\frac{1}{\text{2cos x}}}=\text{cos 2x}$

$\frac{\frac{\text{2cos x.cos x - 1}}{\text{2cos x}}}{\frac{1}{\text{2cos x}}}=\text{cos 2x}$

$\frac{\frac{\text{2cos² x - 1}}{\text{2cos x}}}{\frac{1}{\text{2cos x}}}=\text{cos 2x}$

$\text{2cos² x - 1 = cos 2x}$

$\text{2cos² x - (sin² x + cos² x) = cos 2x}$

$\text{2cos² x - sin² x - cos² x = cos 2x}$

$\text{2cos² x - cos² x - sin² x = cos 2x}$

$\text{cos² x - sin² x = cos 2x}$