Cos15

cos15 kaça eşittir ?

$Cos15°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$'e eşittir. $Cos15°$'in değerini aşağı da birkaçını göstereceğimiz birçok yoldan bulabiliriz.

1. toplam-fark formülleri yardımıyla cos15°'nin değerini bulma

Kosinüs için toplam-fark formülleri aşağıdaki gibidir.

$cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb$

$cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb$

15° = 45° - 30° veya 15° = 60° - 45°'dir. Sin30°, cos30°, sin45°, cos45°, sin60° ve cos60°'nin trigonometrik değerini bildiğimiz için buradan sin15°'nin trigonometrik değerini kolaylıkla hesaplayabiliriz. (bakınız önemli açıların trigonometrik değerleri)

a. 30° ve 45° değerlerini kullanarak bulma

$cos15°=cos(45°-30°)$

$cos15°=cos45°.cos30°+sin45°.cos30°$

$cos15°=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}$

$cos15°=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2.2}+\frac{\sqrt{2}.1}{2.2}$

$cos15°=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$

$cos15°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

b. 45° ve 60° değerlerini kullanarak bulma

$cos15°=cos(60°-45°)$

$cos15°=cos60°.cos45°+sin60°.sin45°$

$cos15°=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos15°=\frac{1.\sqrt{2}}{2.2}+\frac{\sqrt{3}.\sqrt{2}}{2.2}$

$cos15°=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}$

$cos15°=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$'ün rasyonel sayı olarak yaklaşık değerini bulma

$\sqrt{2}\approx 1,4142$

$\sqrt{6}\approx 2,4494$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx \frac{2,4494+1,4142}{4}$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx \frac{3,8636}{4}$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0,9659$

2. cosx'in sonsuz seri açılımından faydalanarak cos15°'nin yaklaşık değerini bulma

Cosx'in sonsuz seri şeklindeki açılımı aşağıdaki gibidir.

$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+...$

Yukarıdaki formül de doğru sonuca ulaşabilmek için x'in değerini radyan olarak yazmamız gerekmektedir. 15°'nin radyan olarak karşılığını aşağıdaki şekildeki gibi bulabiliriz.

$\frac{D}{180°}=\frac{R}{\pi }$

$\frac{15°}{180°}=\frac{R}{\pi }$

$180°.R=15°.\pi$

$R=\frac{15°.\pi }{180°}$

$R=\frac{\pi }{12}$

$15°$'nin radyan olarak karşılığı $\frac{\pi }{12}$'dir. $\pi \approx 3,141592$ olarak alınırsa;

$\frac{\pi }{12}\approx \frac{3,141592}{12}\approx 0,261799$ olur. Şimdi yukarıdaki formül de $x$ gördüğümüz yere $0,261799$ yazalım. Formüldeki ilk iki terimi almamız yeterlidir.

$cosx\approx 1-\frac{x^2}{2!}$

$cosx\approx 1-\frac{0,261799^2}{2!}$

$cosx\approx 1-\frac{0,261799^2}{2}$

$cosx\approx 1-\frac{0,068528}{2}$

$cosx\approx 1-0,034264$

$cosx\approx 0,965736$

3. birim çember yardımıyla cos15'in yaklaşık değerini bulma