Birim Fonksiyon

Birim Fonksiyon Nedir?

A tanım kümesinden, B değer (görüntü) kümesine tanımlanmış bir f fonksiyonunda, A tanım kümesinin her elemanı, B değer (görüntü) kümesinde kendisi ile eşleniyorsa, f fonksiyonuna birim fonksiyon denir ve I ile gösterilir. Birim fonksiyon, bire bir ve örtendir. Birim fonksiyon; özdeşlik fonksiyonu, özdeşlik gönderimi, özdeşlik dönüşümü, birim dönüşüm ve birim işlev gibi farklı şekillerde de adlandırılmaktadır.

Birim Fonksiyonun Formülü

∀ x ∈ A için f(x) = x ⇒ f(x) = I olur.

Birim Fonksiyonun Grafiği

Birim fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekildeki gibidir.

Birim Fonksiyon Soruları

Örnek 1 f(x) = (a-2)x³ - (2b+5)x² + (c+3)x + d - 1 fonksiyonu bir birim fonksiyon olduğuna göre a + b + c + d toplamının sonucu neye eşittir?

Cevap

f(x) fonksiyonu eğer bir birim fonksiyon ise f(x) = x olmak zorundadır.

f(x) = (a-2)x³ - (2b+5)x² + (c+3)x + d - 1

Birim fonksiyonda x³, x² vb. terimler bulunmaz.

a-2 = 0

a = 2 olur.

-(2b+5) = 0

2b+5 = 0

2b = -5

b = -5/2 olur.

c+3 = 1 (fonksiyonun birim fonksiyon olabilmesi için x'in katsayı 1 olmak zorundadır)

c = 1-3

c = -2 olur.

d-1 = 0

d = 1 olur.

a + b + c + d = 2 + (-5/2) + (-2) + 1

a + b + c + d = 2 - 5/2 - 2 + 1 = -3/2 olur.

Örnek 2 f: R → R olmak üzere; f(3x + 2) = ax + 2x + b - 1 fonksiyonu bir birim fonksiyon olduğuna göre a.b'nin değerini bulunuz?

Cevap

Birim fonksiyonun tanımını tekrar hatırlarsak eğer tanım kümesinin her elemanı değer kümesinde kendisi ile eşlenir şeklindedir.

Buna göre tanım kümesindeki 3x+2 değer kümesinde yine 3x+2 ile eşlenmek zorundadır.

f(3x + 2) = 3x + 2

ax + 2x + b - 1 = 3x + 2

(a + 2)x + b - 1 = 3x + 2

a + 2 = 3

a = 3 - 2

a = 1 olur.

b - 1 = 2

b = 2 + 1

b = 3 olur.

a.b = 1.3 = 3 olur.