∫ 2xdx = x² ile ne anlatılmak istenmektedir

Aşağıya y = f(x) = 2x fonksiyonunun grafiğini çizelim.

∫2xdx = x² eşitliği bize; türevi 2x olan fonksiyonun kendisinin x² olduğu anlamına gelmektedir. Yani y = f(x) = x²’nin

türevini alırsak y = f(x)’ = (x²)’= 2x’dir.

∫2xdx belirsiz integralini ilk önce aşağı gibi belirli bir integral haline getirelim.

0

∫2xdx

2x

Sonra x uzunluğunu n olarak ifade edebileceğimiz (sonsuz değil ama sonsuza giden çok büyük bir sayı) sonsuz

büyüklükte bir sayıya bölelim.

Şimdi y = f(x) = 2x eğrisinin altında kalan dikdörtgenlerin alanlarını toplayalım

1. Dikdörtgenin Alanı = (2dx-dx) x 2dx = dx.2dx = 2.dx²

2. Dikdörtgenin Alanı = (3dx-2dx) x 4dx = dx.4dx = 4.dx²

3. Dikdörtgenin Alanı = (4dx-3dx) x 6dx = dx.6dx = 6.dx²

4. Dikdörtgenin Alanı = (5dx-4dx) x 8dx = dx.8dx = 8.dx²

… … …

… … …

(n-2). Dikdörtgenin Alanı = [(n-2)dx-(n-3)dx] x 2(n-3)dx = dx.2(n-3)dx = 2(n-3).dx²

(n-1). Dikdörtgenin Alanı = [(n-1)dx-(n-2)dx] x 2(n-2)dx = dx.2(n-2)dx = 2(n-2).dx²

(n). Dikdörtgenin Alanı = [(n)dx-(n-1)dx] x 2(n-1)dx = dx.2(n-1)dx = 2(n-1).dx²

Bütün dikdörtgenlerin alanlarını toplayarak toplam alanı bulalım

Toplam Alan = 2.dx² + 4.dx² + 6.dx² + … + 2(n-3).dx² + 2(n-2).dx² + 2(n-1).dx²

Toplam Alan = 2.dx² [1+ 2 + 3 + … + (n-3) + (n-2) +(n-1)] (2.dx² ortak çarpanına aldık)