bylge-logo

    Bylge

    Üçgenin İç Açıları Toplamı (Üçgenin İç Açıları Toplamı Kaçtır?)

    Üçgenin İç Açıları Toplamı Neden 180 Derecedir? Bir üçgenlerde iç açıların toplamı 180°'dir. Yukarıdaki ABC üçgeninde; m (A) + m (B) + m (C) = a + b + c = 18

    Picture of the Pow

    Pow

    @pow


    Üçgenin İç Açıları Toplamı Neden 180 Derecedir?

    Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_(Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_Kaçtır?)


    Bir üçgenlerde iç açıların toplamı 180°'dir. Yukarıdaki ABC üçgeninde;

    m (A) + m (B) + m (C) = a + b + c = 180° olur.

    Bir üçgenin iç açılarının toplamının 180° olduğunu çeşitli yollardan ispatlayabiliriz.


    1. Yol


    Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_(Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_Kaçtır?)


    Yukarıdaki ABC üçgeninde kırmızı kesikli çizgiler ile gösterdiğimiz DE doğru paçası BC kenarına paraleldir.

    Yani; [DE] // |BC|'dir.

    Geometri derslerinde açı konusunu işlerken öğrendiğimiz bilgilere göre DAB ile ABC ve EAC ile BCA açıları iç ters açılardır. Hepimizin bildiği üzere iç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

    Yani; m (DAB) = m (ABC) = b ve m (EAC) = m (BCA) = c olur.

    şekildeki DAE doğru parçası üzerinde oluşan açı bir doğru açıdır ve bir doğru açının ölçüsü de 180°'dir.

    m (DAE) = 180 = b + a + c = a + b + c olur.

    (a + b + c)'nin toplamı olan 180 üçgenin iç açılarının toplamına eşittir.

    Böylelikle bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu bu şekilde ispatlamış olduk.


    2. Yol


    Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_(Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_Kaçtır?)


    Yukarıdaki ABCD dikdörtgeninde A ve C veya B ve D köşelerini birleştiren bir doğru parçası çizelim. Biz B ve D köşelerini birleştiren bir doğru parçası çizmeye tercih ettik.

    Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_(Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_Kaçtır?)


    [BD] doğru parçası dikdörtgeni ikiye ayırarak ABD ve BCD olmak üzere iki tane üçgen oluşmasını sağlar.

    ABD üçgenin iç açılarını toplamı:

    m (A) + m (B) + m (D) = 90 + x + y (1. Denklem)

    BCD üçgenin iç açılarını toplamı:

    m (B) + m (C) + m (D) = 90 - x + 90 + 90 - y = 90 + 90 + 90 - x - y = 270 - (x + y) (2. Denklem)

    [AD] doğru parçası [BC] doğru parçasına paralel olduğu için [AD] // [BC]

    m (ADB) = m (DBC) ve y = 90 - x olur.

    1. Denklem de y gördüğümüz yere 90 - x yazalım.

    m (A) + m (B) + m (D) = 90 + x + y

    m (A) + m (B) + m (D) = 90 + x + 90 - x

    m (A) + m (B) + m (D) = 90 + 90 + x - x

    m (A) + m (B) + m (D) = 180 + 0 = 180 olur.

    Gerçekten de ABD üçgenin iç açılarını toplamı 180° olarak çıktı.

    Şimdi de 2. denklemimiz de y gördüğümüz yere 90 - x yazalım.

    m (B) + m (C) + m (D) = 270 - (x + y)

    m (B) + m (C) + m (D) = 270 - (x + 90 - x)

    m (B) + m (C) + m (D) = 270 - (x - x + 90)

    m (B) + m (C) + m (D) = 270 - (0 + 90)

    m (B) + m (C) + m (D) = 270 - (90)

    m (B) + m (C) + m (D) = 270 - 90

    m (B) + m (C) + m (D) = 180

    Gerçekten de BCD üçgenin iç açılarını toplamı 180° olarak çıktı.


    3. Yol


    Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_(Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_Kaçtır?)


    Yukarıdaki ABC üçgeninde üç tane doğru açı bulunmaktadır. Doğru açı hepinizin geometri derslerinden bildiği üzere bir doğru üzerinde bulunan ve ölçüsü 180° olan açıdır.

    Birde şunu hatırlatmakta fayda var bütün çokgenlerin üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen v.b. hepsinin dış açılarının toplamı her zaman için 360°'dir.

    Şimdi ispatımıza geçelim.

    a + d = 180

    b + e = 180

    c + f = 180

    d + e + f = 360 (dış açıların toplamı)

    (a + d) + (b + e) + (c + f) = 180 + 180 + 180 = 540

    (a + b + c) + (d + e + f) = 540

    (a + b + c) + 360 = 540

    a + b + c = 540 - 360

    a + b + c = 180 (iç açıların toplamı)


    4. Yol


    Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_(Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_Kaçtır?)


    Bir çemberde merkez açı gördüğü yayın ölçüsüne ve çevre açı da gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.


    Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_(Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_Kaçtır?)


    Yukarıdaki çemberde;

    m (A) = a, m (B) = b, m (C) = c ve m (BC) = 2a, m (CA) = 2b, m (AB) = 2c'dir.

    Şimdi tüm yayların ölçülerini toplayalım

    m (BC) + m (CA) + m (AB) = 2a + 2b + 2c olur.

    Tam bir çember yayının ölçüsü 360°'dir.

    O zaman;

    2a + 2b + 2c = 360

    2.(a + b + c) = 360

    a + b + c = 360/2

    a + b + c = 180 olur.

    Görüldüğü gibi üçgenimizin iç açıları toplamı (a + b + c) 180 derece olarak bulunur.


    5. Yol

    Bu yöntem göre bir defter veya kağıda çizeceğim üçgenin iç açılarını kesip birleştirmektir.


    Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_(Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_Kaçtır?)


    Yukarıdaki ABC üçgeninde A, B ve C açılarını kesip birleştirelim.


    Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_(Üçgenin_İç_Açıları_Toplamı_Kaçtır?)


    Yukarıdaki şekilde de görüleceği gibi kestiğimiz üç parçayı bir araya getirdiğimizde bir doğru açı oluşmaktadır.

    Published Date:

    May 01, 2020

    Updated Date:

    December 04, 2023