Üçgenin İç Açıları Toplamı (Üçgenin İç Açıları Toplamı Kaçtır?)

Üçgenin İç Açıları Toplamı Neden 180 Derecedir?

Bir üçgenlerde iç açıların toplamı 180°'dir. Yukarıdaki ABC üçgeninde;

m (A) + m (B) + m (C) = a + b + c = 180° olur.

Bir üçgenin iç açılarının toplamının 180° olduğunu çeşitli yollardan ispatlayabiliriz.

1. Yol

Yukarıdaki ABC üçgeninde kırmızı kesikli çizgiler ile gösterdiğimiz DE doğru paçası BC kenarına paraleldir.

Yani; [DE] // |BC|'dir.

Geometri derslerinde açı konusunu işlerken öğrendiğimiz bilgilere göre DAB ile ABC ve EAC ile BCA açıları iç ters açılardır. Hepimizin bildiği üzere iç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani; m (DAB) = m (ABC) = b ve m (EAC) = m (BCA) = c olur.

şekildeki DAE doğru parçası üzerinde oluşan açı bir doğru açıdır ve bir doğru açının ölçüsü de 180°'dir.

m (DAE) = 180 = b + a + c = a + b + c olur.

(a + b + c)'nin toplamı olan 180 üçgenin iç açılarının toplamına eşittir.

Böylelikle bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu bu şekilde ispatlamış olduk.

2. Yol

Yukarıdaki ABCD dikdörtgeninde A ve C veya B ve D köşelerini birleştiren bir doğru parçası çizelim. Biz B ve D köşelerini birleştiren bir doğru parçası çizmeye tercih ettik.

[BD] doğru parçası dikdörtgeni ikiye ayırarak ABD ve BCD olmak üzere iki tane üçgen oluşmasını sağlar.

ABD üçgenin iç açılarını toplamı:

m (A) + m (B) + m (D) = 90 + x + y (1. Denklem)

BCD üçgenin iç açılarını toplamı:

m (B) + m (C) + m (D) = 90 - x + 90 + 90 - y = 90 + 90 + 90 - x - y = 270 - (x + y) (2. Denklem)

[AD] doğru parçası [BC] doğru parçasına paralel olduğu için [AD] // [BC]

m (ADB) = m (DBC) ve y = 90 - x olur.

1. Denklem de y gördüğümüz yere 90 - x yazalım.

m (A) + m (B) + m (D) = 90 + x + y

m (A) + m (B) + m (D) = 90 + x + 90 - x

m (A) + m (B) + m (D) = 90 + 90 + x - x

m (A) + m (B) + m (D) = 180 + 0 = 180 olur.

Gerçekten de ABD üçgenin iç açılarını toplamı 180° olarak çıktı.

Şimdi de 2. denklemimiz de y gördüğümüz yere 90 - x yazalım.

m (B) + m (C) + m (D) = 270 - (x + y)

m (B) + m (C) + m (D) = 270 - (x + 90 - x)

m (B) + m (C) + m (D) = 270 - (x - x + 90)

m (B) + m (C) + m (D) = 270 - (0 + 90)

m (B) + m (C) + m (D) = 270 - (90)

m (B) + m (C) + m (D) = 270 - 90

m (B) + m (C) + m (D) = 180

Gerçekten de BCD üçgenin iç açılarını toplamı 180° olarak çıktı.

3. Yol

Yukarıdaki ABC üçgeninde üç tane doğru açı bulunmaktadır. Doğru açı hepinizin geometri derslerinden bildiği üzere bir doğru üzerinde bulunan ve ölçüsü 180° olan açıdır.

Birde şunu hatırlatmakta fayda var bütün çokgenlerin üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen v.b. hepsinin dış açılarının toplamı her zaman için 360°'dir.

Şimdi ispatımıza geçelim.

a + d = 180

b + e = 180

c + f = 180

d + e + f = 360 (dış açıların toplamı)

(a + d) + (b + e) + (c + f) = 180 + 180 + 180 = 540

(a + b + c) + (d + e + f) = 540

(a + b + c) + 360 = 540

a + b + c = 540 - 360

a + b + c = 180 (iç açıların toplamı)

4. Yol

Bir çemberde merkez açı gördüğü yayın ölçüsüne ve çevre açı da gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

Yukarıdaki çemberde;

m (A) = a, m (B) = b, m (C) = c ve m (BC) = 2a, m (CA) = 2b, m (AB) = 2c'dir.

Şimdi tüm yayların ölçülerini toplayalım

m (BC) + m (CA) + m (AB) = 2a + 2b + 2c olur.

Tam bir çember yayının ölçüsü 360°'dir.

O zaman;

2a + 2b + 2c = 360

2.(a + b + c) = 360

a + b + c = 360/2

a + b + c = 180 olur.

Görüldüğü gibi üçgenimizin iç açıları toplamı (a + b + c) 180 derece olarak bulunur.

5. Yol

Bu yöntem göre bir defter veya kağıda çizeceğim üçgenin iç açılarını kesip birleştirmektir.

Yukarıdaki ABC üçgeninde A, B ve C açılarını kesip birleştirelim.

Yukarıdaki şekilde de görüleceği gibi kestiğimiz üç parçayı bir araya getirdiğimizde bir doğru açı oluşmaktadır.